Varianz Börsenlexikon Vorheriger Begriff: Varianz-Kovarianz-Ansatz Nächster Begriff: Historische Simulation

Die Varianz ist eine fundamentale statistische Kennzahl, die die Streuung oder Volatilität einer Datenreihe misst. In der Finanzwelt wird die Varianz insbesondere zur Bewertung von Anlagerisiken verwendet. Sie zeigt, wie stark die Renditen eines Finanzinstruments oder Portfolios um ihren Durchschnittswert schwanken. Eine hohe Varianz weist auf starke Schwankungen und ein hohes Risiko hin, während eine niedrige Varianz auf stabile Renditen mit geringem Risiko hindeutet.

Definition und Berechnung der Varianz

Die Varianz gibt an, wie stark die Werte einer Datenreihe um ihren Mittelwert ($\mu$) streuen. Mathematisch ist die Varianz ($\sigma^2$) definiert als der durchschnittliche quadratische Abstand der einzelnen Werte vom Mittelwert:

$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$$

wobei:

• $n$ die Anzahl der Beobachtungen ist,
• $x_i$ die einzelnen Renditen oder Werte der Datenreihe sind,
• $\mu$ der Durchschnitt der Werte ist.

Die Standardabweichung ($\sigma$) ist die Quadratwurzel der Varianz und wird oft als Maß für das Risiko einer Anlage verwendet:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Da die Varianz quadrierte Einheiten hat (z. B. Prozentquadrat), wird oft die Standardabweichung bevorzugt, da sie die gleiche Einheit wie die ursprünglichen Daten besitzt.

Beispiel für die Berechnung der Varianz

Angenommen, ein Investor beobachtet die jährlichen Renditen einer Aktie über fünf Jahre:

1. Berechnung des Mittelwerts:

   $$\mu = \frac{5 + 8 + (-3) + 10 + 2}{5} = \frac{22}{5} = 4,4\%$$

2. Berechnung der Abweichungen vom Mittelwert:

   $$(5 - 4,4)^2 = 0,36$$

   $$(8 - 4,4)^2 = 12,96$$

   $$(-3 - 4,4)^2 = 54,76$$

   $$(10 - 4,4)^2 = 31,36$$

   $$(2 - 4,4)^2 = 5,76$$
3. Berechnung der Varianz:

   $$\sigma^2 = \frac{0,36 + 12,96 + 54,76 + 31,36 + 5,76}{5} = \frac{105,2}{5} = 21,04$$

4. Berechnung der Standardabweichung:

   $$\sigma = \sqrt{21,04} = 4,59\%$$

Das bedeutet, dass die Renditen dieser Aktie eine durchschnittliche Schwankung von 4,59 % um den Mittelwert von 4,4 % aufweisen.

Bedeutung der Varianz im Finanzwesen

Die Varianz ist ein zentrales Maß zur Beurteilung des Risikos von Finanzanlagen. Je nach Anwendungsgebiet hat sie unterschiedliche Interpretationen:

Varianz in der Portfolio-Theorie

Die moderne Portfolio-Theorie von Harry Markowitz (1952) nutzt die Varianz, um das Risiko eines Portfolios zu quantifizieren. Die Portfoliovarianz berücksichtigt nicht nur die individuelle Varianz der Wertpapiere, sondern auch deren Korrelation miteinander:

$$\sigma_P^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \rho_{1,2} \sigma_1 \sigma_2$$

wobei:

• $w_1, w_2$ die Gewichtungen der Wertpapiere sind,
• $\sigma_1, \sigma_2$ die Standardabweichungen der Wertpapiere sind,
• $\rho_{1,2}$ die Korrelation zwischen den Wertpapieren ist.

Durch eine geschickte Kombination von Anlagen mit niedriger oder negativer Korrelation kann die Portfoliovarianz gesenkt werden, was zu einem besseren Rendite-Risiko-Verhältnis führt.

Vorteile der Varianz als Risikokennzahl

• Objektive Messung: Liefert eine präzise Quantifizierung von Risiko.
• Grundlage für viele Risikomodelle: Wird in der Portfolio-Theorie, im Value at Risk (VaR) und bei der Optionsbewertung genutzt.
• Ermöglicht Diversifikationseffekte: Durch Berücksichtigung der Korrelation zwischen Anlagen.

Nachteile und Kritik an der Varianz

• Quadratische Gewichtung von Abweichungen: Große Abweichungen vom Mittelwert haben überproportionalen Einfluss auf die Varianz.
• Keine Unterscheidung zwischen positiven und negativen Schwankungen: Hohe positive Renditen erhöhen die Varianz genauso wie Verluste.
• Annahme der Normalverteilung: Viele Finanzmärkte weisen Fat-Tail-Risiken auf, die durch die Varianz nicht adäquat beschrieben werden.
• Nicht direkt interpretierbar: Die Standardabweichung ($\sigma$) ist oft hilfreicher, da sie in der gleichen Einheit wie die ursprünglichen Renditen angegeben wird.

Alternativen zur Varianz in der Finanzanalyse

Fazit

Die Varianz ist eine zentrale Kennzahl im Finanzwesen, die das Risiko einer Anlage quantifiziert, indem sie die Schwankungen um den Mittelwert misst. Sie ist besonders wichtig für das Portfoliomanagement, die Risikoanalyse und die Optionsbewertung. Trotz ihrer weitverbreiteten Nutzung hat die Varianz einige Einschränkungen, insbesondere in Bezug auf die Annahme der Normalverteilung und die Gleichbehandlung positiver und negativer Schwankungen. In der Praxis wird sie daher oft durch alternative Risikokennzahlen ergänzt, um eine umfassendere Einschätzung von Anlage- und Marktrisiken zu ermöglichen.