Kovarianz Börsenlexikon Vorheriger Begriff: Kotierung Nächster Begriff: Kredit

Die Kovarianz ist ein Maß in der Statistik und Finanzmathematik, das die Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen beschreibt. Sie gibt an, wie zwei Variablen gemeinsam variieren. In der Finanzwelt spielt die Kovarianz eine zentrale Rolle bei der Analyse von Wertpapieren, insbesondere bei der Bewertung von Portfolios und der Bestimmung von Risikostrukturen.

Berechnung der Kovarianz

Die Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y wird mit folgender Formel berechnet:

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X}) (Y_i - \bar{Y})$$

Dabei gilt:

• $X_i, Y_i$ sind die einzelnen Werte der Zufallsvariablen,
• $\bar{X}, \bar{Y}$ sind die Mittelwerte der jeweiligen Variablen,
• $n$ ist die Anzahl der betrachteten Werte.

Eine positive Kovarianz bedeutet, dass beide Variablen tendenziell gemeinsam steigen oder fallen. Eine negative Kovarianz zeigt an, dass, wenn eine Variable steigt, die andere tendenziell fällt.

Interpretation der Kovarianz

Obwohl die Kovarianz zeigt, ob zwei Variablen in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung tendieren, gibt sie keine normierte Aussage über die Stärke des Zusammenhangs. Eine hohe Kovarianz kann durch große Zahlenwerte der Variablen bedingt sein, weshalb die Interpretation allein nicht immer eindeutig ist.

Zur besseren Vergleichbarkeit wird daher oft die Korrelation verwendet. Diese normiert die Kovarianz und bewegt sich im Wertebereich von -1 bis 1:

$$\text{Kor}(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$$

wobei $\sigma_X$ und $\sigma_Y$ die Standardabweichungen der jeweiligen Variablen sind.

Kovarianz in der Finanzwelt

In der Finanzwelt wird die Kovarianz oft zur Risikoanalyse von Portfolios genutzt. Dabei betrachtet man, wie sich verschiedene Wertpapiere gemeinsam verhalten. Ein Portfolio, dessen Wertpapiere eine niedrige oder negative Kovarianz aufweisen, kann das Risiko reduzieren, da nicht alle Anlagen gleichzeitig fallen oder steigen.

Einige wichtige Anwendungen:

• Portfolio-Diversifikation: Durch die Kombination von Wertpapieren mit geringer oder negativer Kovarianz kann das Gesamtrisiko gesenkt werden.
• Bestimmung der Varianz eines Portfolios: Die Gesamtvarianz eines Portfolios hängt von den einzelnen Wertpapieren und deren Kovarianz untereinander ab.
• Beta-Faktor eines Wertpapiers: In der Kapitalmarktanalyse wird die Kovarianz genutzt, um das Beta eines Wertpapiers zu bestimmen, das angibt, wie stark es mit dem Markt korreliert.

Beispielrechnung

Angenommen, ein Investor möchte die Kovarianz zwischen den Renditen zweier Aktien berechnen. Er hat folgende monatliche Renditen beobachtet:

Berechnung der Mittelwerte:

• $\bar{X} = \frac{2,5 + 3,0 + 2,0 + 2,8}{4} = 2,575$
• $\bar{Y} = \frac{3,0 + 2,5 + 2,8 + 3,2}{4} = 2,875$

Nun berechnet man die Kovarianz gemäß der obigen Formel:

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{(2,5 - 2,575)(3,0 - 2,875) + (3,0 - 2,575)(2,5 - 2,875) + (2,0 - 2,575)(2,8 - 2,875) + (2,8 - 2,575)(3,2 - 2,875)}{4}$$

Das Ergebnis zeigt, ob die beiden Aktien tendenziell gemeinsam steigen oder fallen.

Fazit

Die Kovarianz ist ein wichtiges statistisches Maß zur Untersuchung des gemeinsamen Verhaltens zweier Variablen, insbesondere in der Finanzwelt. Sie hilft bei der Portfoliosteuerung, der Risikobewertung und der Analyse von Marktbewegungen. Da sie jedoch nicht normiert ist, wird oft die Korrelation bevorzugt, um die Stärke der Beziehung besser bewerten zu können. Ein gezielter Einsatz der Kovarianz kann Investoren helfen, fundierte Entscheidungen zu treffen und ihre Anlagestrategien zu optimieren.