MS BioNTech WKN: A2PSR2 ISIN: US09075V1026 Kürzel: BNTX Forum: Aktien User: Thekla

Mei KI is hi‘😅

Die KI antwortet: Um das Problem zu lösen, müssen wir die Gesamtzahl der Ereignisse \( n \) ermitteln, so dass wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % (d.h. einem Confidence Niveau von 95 %) mindestens 11 erfolgreiche Ereignisse haben. Wir haben zwei Arten von Ereignissen: 1. \( n_1 = 5 \) Ereignisse mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 100 %. 2. \( n_2 = n - 5 \) Ereignisse mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 90 %. Ein Ereignis ist erfolgreich, wenn es eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis erfolgreich ist, beträgt: - Für die ersten 5 Ereignisse: 1 (100 %) - Für die restlichen \( n - 5 \) Ereignisse: 0,9 (90 %) Die Gesamtanzahl der erfolgreichen Ereignisse \( X \) kann als Summe der beiden Gruppen modelliert werden: - \( X_1 \) ist die Anzahl der erfolgreichen Ereignisse unter den ersten 5 (immer 5, weil sie 100 % erfolgreich sind). - \( X_2 \) ist die Anzahl der erfolgreichen Ereignisse unter den restlichen \( n - 5 \) (binomialverteilt mit Parametern \( n - 5 \) und 0,9). Also haben wir: \[ X = X_1 + X_2 \] Wobei \( X_1 = 5 \) und \( X_2 \sim \text{Binomial}(n - 5, 0.9) \). Wir brauchen: \[ P(X \geq 11) \geq 0.95 \] Da \( X_1 = 5 \), benötigen wir: \[ P(X_2 \geq 6) \geq 0.95 \] \( X_2 \) ist binomialverteilt mit \( n - 5 \) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,9. Wir müssen also die kleinste Anzahl von Versuchen \( n - 5 \) finden, so dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens 6 Erfolge zu haben, mindestens 95 % beträgt. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 6 Erfolge zu haben, ist: \[ P(X_2 \geq 6) = 1 - P(X_2 \leq 5) \] Wir müssen also finden: \[ P(X_2 \leq 5) \leq 0.05 \] Die kumulative Binomialverteilung kann mit einer binomialen Verteilung berechnet werden. Lassen Sie uns dies berechnen: \[ P(X_2 \leq 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{n-5}{k} (0.9)^k (0.1)^{n-5-k} \] Wir finden das kleinste \( n \), so dass dies erfüllt ist. Um das genaue \( n \) zu bestimmen, verwenden wir einen schrittweisen Ansatz oder eine Tabelle binomialer Verteilungsfunktionen. Durch Berechnung finden wir, dass \( n = 13 \) ausreicht, um die Bedingung zu erfüllen. Lassen Sie uns dies überprüfen: Wenn \( n = 13 \), dann ist \( n_2 = 8 \): \[ X_2 \sim \text{Binomial}(8, 0.9) \] Berechnen wir: \[ P(X_2 \leq 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{8}{k} (0.9)^k (0.1)^{8-k} \] Wir müssen prüfen, ob diese Summe weniger als 0.05 ist. Berechnen wir diese Summe: \[ P(X_2 \leq 5) \approx 0.046 \] Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens 6 Erfolge in 8 Versuchen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 90 % zu haben, etwa 95,4 % beträgt, was ausreicht. Also: Die minimale Anzahl von Ereignissen \( n \), um mit einem Confidence Niveau von 95 % mindestens 11 erfolgreiche Ereignisse zu haben, ist **13**.